Question

如圖：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°．E為的中點(diǎn)，D點(diǎn)在AB上且DE=

3

（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-CDE中A₁到平面CDE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明出CD⊥AB，進(jìn)而根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)證明出CD⊥AA₁，最后利用線面垂直的判定定理證明出 CD⊥平面A₁ABB₁
（2）根據(jù)S△A1DE=SA1ABB1-S△A1AD-S_△DEB-S△A1B1E求得△A₁DE的面積，進(jìn)而求得三棱錐A₁-CDE的體積為，然后求得△CDE面積，最后利用體積公式求得A₁到平面CDE的距離．

解答： 解：（1）在Rt△DBE中，BE=1，DE=

3

，
∴BD=

DE2-BE2

=

2

=

1

2

AB，
∴D為AB中點(diǎn)，而AC=BC，
∴CD⊥AB
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴CD⊥AA₁
又 AA₁∩AB=A 且 AA₁、AB?平面A₁ABB₁
∴CD⊥平面A₁ABB₁
（2）解：∵A₁ABB₁為矩形，
∴△A₁AD，△DBE，△EB₁A₁都是直角三角形，
∴S△A1DE=SA1ABB1-S△A1AD-S_△DEB-S△A1B1E
=2×2

2

-

1

2

×

2

×2-

1

2

×

2

×1-

1

2

×2

2

×1=

3

2

2

∴V_A1-CDE=V_C-A1DE=

1

3

×S_A1DE×CD=

1

3

×

3

2

2

×

2

=1
∴三棱錐A₁-CDE的體積為1．
S_△CDE=

1

2

|CD||DE|=

1

2

×

2

×

3

=

6

2

故距離為

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理，體積公式的運(yùn)用，考查了學(xué)生空間觀察能力和分析問(wèn)題的能力．