Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

m

=（sin（x-A），sinA），

n

=（2cosx，1）（x∈R），函數f（x）=

m

•

n

在x=

5π

12

處取得最大值．
（1）當x∈（0，

π

2

）時，求函數f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的最值

專題：計算題,解三角形

分析：（1）化簡可得f（x）=sin（2x-A）．由已知可解得A的值，由x∈（0，

π

2

）從而確定函數f（x）的值域；
（2）由已知及由正弦定理得2R=

a

sinA

=

14 3

3

，可解得b+c=13，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，解得bc=40，從而可求△ABC的面積．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=2cosxsin（x-A）+sinA=2cosxsinxcosA-2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA-sinAcos2x=sin（2x-A）．
∵函數f（x）=

m

•

n

在x=

5π

12

處取得最大值．
∴2×

5π

12

-A+2kπ=

π

2

，可解得A=

π

3

+2kπ，不妨取A=

π

3

．
∴f（x）=sin（2x-

π

3

）．
∵x∈（0，

π

2

）
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

∴-

3

2

＜sin（2x-

π

3

）≤1．
∴函數f（x）的值域為（-

3

2

，1]．
（2）∵a=7，sinA=sin

π

3

=

3

2

設△ABC的外接圓的半徑為R，
則由正弦定理得，2R=

a

sinA

=

14 3

3

，
由sinB+sinC=

13 3

14

，得

b

2R

+

c

2R

=

13 3

14

，即b+c=13，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
即49=（b+c）²-3bc，
解得bc=40，
所以△ABC的面積S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數，三角函數的最值，屬于基本知識的考查，屬于中檔題．