Question

【題目】如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（I）由BF⊥平面ACE，可得，再由二面角D—AB—E是直二面角，可得平面平面，結合，可得，進而可證明AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系O—xyz，然后利用空間向量法可求出二面角B—AC—E.

（I）平面，

二面角D—AB—E是直二面角，∴平面平面，

又，∴平面，，

又平面，∴AE⊥平面BCE.

（Ⅱ）以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，

過O點平行于AD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O—xyz.

面BCE，BE平面BCE，，

在中，，O為AB的中點，

，

，設平面AEC的一個法向量為，

則即，解得，

令得是平面AEC的一個法向量，

又平面BAC的一個法向量為，

，

∴二面角B—AC—E的余弦值為.