Question

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C極坐標方程： ，點P極坐標為 ，直線l過點P，且傾斜角為 ．
（1）求曲線C的直角坐標方程及直線l參數方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C極坐標方程： ，∴3ρ2+ρ2sin2θ=12，

∵ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，

∴曲線C的直角坐標方程為3x2+4y2=12，即 =1．

∵點P極坐標為 ，直線l過點P，且傾斜角為 ．

∴點P的直角坐標為（3， ），

∴直線l參數方程為 （t為參數）

（2）解：把直線l參數方程 （t為參數）代入曲線C：3x2+4y2=12，

整理，得： ，

=4＞0，

設方程的兩根為t1，t2，則t1+t2=﹣ ，t1t2= ，∴t1＜0，t2＜0，

∴ =| |=| |= = =

【解析】（1）曲線C極坐標方程轉化為3ρ2+ρ2sin2θ=12，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，能求出曲線C的直角坐標方程；由直線l過點P（3， ），且傾斜角為 ，能求出直線l參數方程．（2）把直線l參數方程 （t為參數）代入曲線C：3x2+4y2=12，得： ，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出 的值．