Question

【題目】設函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若，證明：對任意的實數，都有.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，的單調減區間為，單調增區間為;（2）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）問題轉化為證明，先證出，再證明令，根據函數的單調性證明即可．

試題解析：（1）定義域為，，

①當時，，在上單調遞增，

②當時，令，有，

		0
	↘	極小值	↗

所以的單調減區間為，單調增區間為.

綜合①②，當時，在上單調遞增；當時，的單調減區間為，單調增區間為.

（2）要證明，即證明，

下面先證明：，

構造函數，，

令得，當時，即在上單調遞增，

∴，

于是有，，

∴當時，，

從而.

接下來只需證：，

即證：，

令，則，

所以在上單調遞減，上單調遞增，

即，

∵時，，

∴，

∴.

點晴:本題主要考查函數單調性,及不等式的證明問題.要求單調性，求導比較導方程的根的大小，解不等式可得單調區間，要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數證明新函數單調，只需要證明其導函數大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據題意構造新函數，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉化之后，就可以假設相對應的函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果.