Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E，F分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）點(diǎn)G是線段上一動(dòng)點(diǎn)，若與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)H，連結(jié)，證明四邊形為平行四邊形得到證明.

（2）連結(jié)，證明為與平面所成角的平面角得到，以A為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，平面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.

（1）取的中點(diǎn)H，連結(jié)，

∵E，F分別為的中點(diǎn)，∴，，

由題知，，∴，，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

∵平面，且平面，∴平面.

（2）連結(jié)，∵四邊形為菱形，，

∴是等邊三角形，E為中點(diǎn)，

∴，且，

∵平面，平面，∴，，

∴平面，

∵平面，∴，

∴為與平面所成角的平面角，

在中，∵，

∴當(dāng)最短時(shí)，最大，，

∵，∴，

在中，，，∴，

以A為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

則，

∵，∴平面，

∴平面的一個(gè)法向量為，

平面的法向量，

則，∴，取，得，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

∴二面角的余弦值為.