Question

【題目】已知橢圓的長軸為，且過點

（1）求橢圓的方程；

（2）設點為原點，若點在曲線上，點在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線與圓相切，證明見解析

【解析】

（1）由題意可得，代入的坐標，可得，的方程，解方程可得橢圓方程；

（2）設出點，的坐標分別為，，其中，由得到，用坐標表示后把用含有點的坐標表示，然后分，的橫坐標相等和不相等寫出直線的方程，然后由圓的圓心到的距離和圓的半徑相等，證明直線與圓相切.

（1）由題意可得，即，

又，解得，

即有橢圓的方程為；

（2）直線與圓相切.

證明如下：設點,的坐標分別為,，其中.

，

，即，

解得.

當時，，代入橢圓的方程，得，

故直線的方程為，

圓心到直線的距離.

此時直線與圓相切.

當時，直線的方程為,

即.

圓心到直線的距離

又，.

故.

此時直線與圓相切.

綜合得直線與圓相切.