Question

【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,,四邊形ACEF為正方形,且平面平面ACEF.

(1)證明:;

(2)求平面BEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) .

【解析】

（1）利用余弦定理得到，證明，，得到平面ACEF得到答案.

（2）分別以AB,AC,AF所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面BEF的一個法向量，平面BCF的一個法向量為，計(jì)算夾角得到答案.

(1)在平行四邊形ABCD中,,

在中,由余弦定理得:,

即,

由,

所以

又四邊形ACEF為正方形,所以,

又平面平面ACEF,平面平面ACEF=AC

所以平面ABCD,所以,

又，所以平面ACEF,平面ACEF

所以.

(2)由AB,AC,AF兩兩垂直,分別以AB,AC,AF所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

設(shè)平面BEF的一個法向量,,

則取

同理可得平面BCF的一個法向量為

設(shè)平面BEF與平面BCF所成銳二面角的平面角為,

則.

平面BEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值為.