Question

等比數(shù)列{a_n}（a_n＞0，n∈N^*）中，公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃與a₅的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
①當(dāng)n為何值時(shí)，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

有最大值，并求出最大值；
②當(dāng)n≥2時(shí)，比較S_n與b_n的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程組，求出首項(xiàng)和公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=log₂a_n的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，即可求出

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

的最大值以及比較S_n與b_n的大小．

解答： 解：（1）由a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25得(a3+a5)2=25，
∵a_n＞0，∴a₃+a₅=5，又a₃•a₅=4，0＜q＜1，
∴a₃=4，a₅=1，從而q=

1

2

，
∴an=25-n．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=5-n，
∴Sn=

9n-n2

2

，即

Sn

n

=

9-n

2

，
∴{

Sn

n

}成等差數(shù)列，
①令

9-n

2

≥0，得n≤9，
∴當(dāng)n=8或9時(shí)，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大，最大值為8．
②Sn=

9n-n2

2

，b_n=5-n，
Sn-bn=

9n-n2

2

-(5-n)=

-n2+11n-10

2

=

-(n-1)(n-10)

2

，
∵n≥2，∴（ⅰ）當(dāng)n＞10時(shí)，S_n＜b_n；
（ⅱ）當(dāng)n=10時(shí)，S_n=b_n；
（ⅲ）當(dāng)2≤n＜10時(shí)，S_n＞b_n．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．