Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）證明：直線與曲線相交于兩點，并求兩點之間的距離.

Answer 1

【答案】（1）x+y-3=0, （2）

【解析】

（1）直線的參數方程消去參數，即可求出直線的直角坐標方程；曲線的極坐標方程轉化為，根據極坐標與直角坐標互換公式，由此能求出曲線的直角坐標方程．

（2）求出曲線的圓心，和半徑，在根據點到直線的距離公式，求出圓心到直線l的距離，根據與關系即可證明結果，然后再根據勾股定理，即可求出結果．

（方法二）將（1）得到的方程聯立，化簡可得一元二次方程，根據一元二次方程的判別式，即可證明結果，然后再利用韋達定理和弦長公式即可求出結果.

（1）由消去參數得直線的普通方程為

由，得，曲線的直角坐標方程為

（2）曲線即

圓心到直線的距離

所以，直線與曲線相交于兩點，

兩交點之間的距離為

（方法二）由得

，方程有兩個不相等的實根，即直線與曲線相交于兩點，

設兩交點為，則，，