Question

【題目】記焦點(diǎn)在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)作相似橢圓.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值(為坐標(biāo)原點(diǎn))？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)6.

【解析】分析：(Ⅰ)由相似橢圓的定義可得，橢圓的離心率，由長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為(-2，0)，(2，0)，于是可得，從而可得橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)直線 .

由得，，利用判別式為零可得，聯(lián)立與，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式以及三角形面積公式可得.

詳解：(Ⅰ)由條件知，橢圓的離心率，且長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為(-2，0)，(2，0)，

∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 .

由得，.

令得，.

聯(lián)立與，化簡(jiǎn)得.

設(shè)A()，B()，則

∴，而原點(diǎn)O到直線的距離

∴.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，或，則，原點(diǎn)O到直線的距離，

∴.

綜上所述，的面積為定值6.