Question

【題目】已知橢圓過點離心率為.

（1）求的方程；

（2）如圖，若菱形內接于橢圓，求菱形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）把點的坐標代入橢圓方程中，再根據離心率，建立方程組，求解方程組即可；

（2）當與軸或軸重合時，利用菱形面積計算求解即可；

當直線存在斜率且不為零時，設出直線方程，與橢圓方程聯立，求出弦長，最后利用菱形的面積公式求出表達式，結合基本不等式進行求解即可，最后求出菱形面積最小值.

解：（1）由題意得又

解得，.

所以的方程為

（2）①當與軸或軸重合時，可求菱形的面積為；

②當為時，為，由

得，

所以由弦長公式得，

同理可得

所以菱形的面積為

∵

∴，當且僅當時取等號.

∵∴菱形面積的最小值為4. （說明：本題也可三角換元法或求導法求最小值）