Question

【題目】己知無窮數列的前項和為,若對于任意的正整數,均有,則稱數列具有性質.

（1）判斷首項為,公比為的無窮等比數列是否具有性質,并說明理由;

（2）己知無窮數列具有性質,且任意相鄰四項之和都相等,求證:;

（3）己知,數列是等差數列,,若無窮數列具有性質,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）因為首項為,公比為的無窮等比數列,即可,求和,即可求得答案;

（2）因為無窮數列具有性質,且任意相鄰四項之和都相等,滿足周期性,且,可得,因為具備性質,故滿足:,,采用反證法證明,即可求得答案;

（3）數列是等差數列,可得的前項和為:,因為前項和為:,由具備性質,則其中中包含項奇數項,項偶數項,結合已知,即可求得答案.

（1）首項為,公比為的無窮等比數列

根據等比數列前項和公式可得:

,

數列滿足具有性質.

（2）無窮數列具有性質,且任意相鄰四項之和都相等

滿足周期性,且

可得

具備性質

滿足:,

利用反正法證明:

若,則,

令

得:(注:當時,,則當時,)

與矛盾.

,

又,

.證明完畢.

（3）數列是等差數列

的前項和為:,

前項和為:

由具備性質,

則

其中中包含項奇數項,項偶數項,

有:

其中中包含項奇數項,項偶數項,

故:

由性質

可得,對任意成立

、滿足:,解得:

.