Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁＝λ，a_n＋1＝a_n＋n－4，b_n＝(－1)ⁿ(a_n－3n＋21)，其中λ為實數，n為正整數．
(1)對任意實數λ，證明：數列{a_n}不是等比數列；
(2)試判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)假設存在一個實數λ，使{a_n}是等比數列，則有＝a₁a₃，即²＝λ?λ²－4λ＋9＝λ²－4λ?9＝0，矛盾，所以{a_n}不是等比數列．
(2)因為b_n＋1＝(－1)^n＋1[a_n＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)^n＋1＝－(－1)ⁿ·(a_n－3n＋21)＝－b_n.又b₁＝－(λ＋18)，所以當λ＝－18時，
b_n＝0(n∈N^*)，此時{b_n}不是等比數列；
當λ≠－18時，b₁＝－(λ＋18)≠0，由b_n＋1＝－b_n.
可知b_n≠0，所以＝－(n∈N^*)．故當λ≠－18時，
數列{b_n}是以－(λ＋18)為首項，－為公比的等比數列．