Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}的首項a₁＝2，S_n為其前n項和，若5S₁，S₃，3S₂成等差數列．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n＝log₂a_n，c_n＝，記數列{c_n}的前n項和T_n.若對?n∈N^*，T_n≤k(n＋4)恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n＝2ⁿ（2）

(1)設數列{a_n}的公比為q，∵5S₁，S₃，3S₂成等差數列，
∴2S₃＝5S₁＋3S₂，即2(a₁＋a₁q＋a₁q²)＝5a₁＋3(a₁＋a₁q)，
化簡得2q²－q－6＝0，解得q＝2或q＝－.
因為數列{a_n}的各項均為正數，所以q＝－不合題意，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n＝2ⁿ.
(2)由b_n＝log₂a_n得b_n＝log₂2ⁿ＝n，
則c_n＝＝＝－，
T_n＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.
∵n＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當n＝，即n＝2時等號成立，
∴≤，因此k≥，故實數k的取值范圍為