Question

設V為全體平面向量構成的集合，若映射f：
V→R滿足：
對任意向量a＝(x₁，y₁)∈V，b＝(x₂，y₂)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，則稱映射f具有性質p.
現給出如下映射：
①f₁：V→R，f₁(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；
②f₂：V→R，f₂(m)＝x²＋y，m＝(x，y)∈V；
③f₃：V→R，f₃(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
分析映射①②③是否具有性質p.

Answer 1

①具有性質p②不具有性質p. ③具有性質p.

a＝(x₁y₁)，b＝(x₂，y₂)，
λa＋(1－λ)b＝(λx₁＋(1－λ)x₂，λy₁＋(1－λ)y₂)．
對于①，f₁(m)＝x－y
∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx₁＋(1－λ)x₂]－[λy₁＋(1－λ)y₂]
＝λ(x₁－y₁)＋(1－λ)(x₂－y₂)．
λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x₁－y₁)＋(1－λ)(x₂－y₂)
f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．
∴①具有性質p.
對于②，f₂(m)＝x²＋y，設a＝(0,0)，b＝(1,2)，
λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，
f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)²＋2(1－λ)＝λ²－4λ＋3，
而λf(a)＋(1－λ)b＝λ(0²＋0)＋(1－λ)(1²＋2)＝3(1－λ)．
又λ∈R，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)不恒成立
故②不具有性質p.
對于③，f₃(m)＝x＋y＋1，
f(λa＋(1－λ)b)＝[λx₁＋(1－λ)x₂]＋[λy₁＋(1－λ)y₂]＋1
＝λ(x₁＋y₁)＋(1－λ)(x₂＋y₂)＋1，
又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x₁＋y₁＋1)＋(1－λ)(x₂＋y₂＋1)
＝λ(x₁＋y₁)＋(1－λ)(x₂＋y₂)＋λ＋(1－λ)
＝λ(x₁＋y₁)＋(1－λ)(x₂＋y₂)＋1.
∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)
③具有性質p.