Question

函數f（x）=

1

3

ax³+x²+x+1（a≠0）在區間（0，1]上單調遞增，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、（-∞，-3]
• B、[-3，0）∪（0，+∞）
• C、（-∞，-3）∪（0，+∞）
• D、[-3，0）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：問題轉化為a≥-

2

x

-

1

x2

在區間（0，1]上恒成立，令g（x）=-

2

x

-

1

x2

，（0＜x≤1），求出函數g（x）的導數，得到其單調性，從而求出g（x）的最大值，進而求出a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

ax³+x²+x+1（a≠0）在區間（0，1]上單調遞增，
∴f′（x）=ax²+2x+1≥0在區間（0，1]上恒成立，
∴a≥-

2

x

-

1

x2

在區間（0，1]上恒成立，
令g（x）=-

2

x

-

1

x2

，（0＜x≤1），
∴g′（x）=

2

x2

+

2

x3

＞0，
∴g（x）在（0，1]單調遞增，
∴g（x）_max=g（1）=-3，
∴a≥-3，且a≠0，
故選：B．

點評：本題考查了函數的單調性，考查了導數的應用，考查了轉化思想，是一道中檔題．