Question

已知函數f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）函數F（x）=f（x）-x1nx在定義域內是否存在零點？若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由：
（3）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，當x∈（0，+∞）時，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的定義域及其求法

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=e^x-a；由導數的正負確定函數的單調性；
（2）先求函數F（x）=f（x）-x1nx的定義域，由F（x）=0可化為a=

ex-1

x

-lnx，（x＞0），從而令h（x）=

ex-1

x

-lnx，（x＞0），求導h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，從而由導數求單調性并求最值；
（3）當x＞0時，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；構造函數H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；從而由導數確定恒成立問題．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a；
當a≤0時，f′（x）＞0；函數f（x）在R上是增函數；
當a＞0時，當x＞lna時，f′（x）＞0，當x＜lna時，f′（x）＜0；
函數f（x）的單調增區間為（lna，+∞），單調減區間為（-∞，lna）；
綜上所述，當a≤0時，函數f（x）在R上是增函數；
當a＞0時，函數f（x）的單調增區間為（lna，+∞），單調減區間為（-∞，lna）；

（2）F（x）=f（x）-x1nx的定義域為（0，+∞），
由F（x）=0得，a=

ex-1

x

-lnx，（x＞0），
令h（x）=

ex-1

x

-lnx，（x＞0），則h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，
由于x＞0，e^x-1＞0；當x＞1時，h′（x）＞0；當0＜x＜1，h′（x）＜0；
故函數h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
故h（x）≥h（1）=e-1；
又由（1）知，當a=1時，對?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0；
即e^x-1＞x，故

ex-1

x

＞1；
∵x＞0，∴

ex-1

x

＞0，
當x→0時，lnx→-∞，∴h（x）→+∞；
當a＞e-1時，函數F（x）有兩個不同的零點，
當a=e-1時，函數F（x）有且級有一個零點，
當a＜e-1時，函數F（x）沒有零點；

（3）由（2）知，當x＞0時，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；
構造函數H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；
故函數H（x）在（0，+∞）上單調遞增，
則H（x）＞H（0），
則?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
當a≤1時，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上單調遞增，在（0，lna）上單調遞減，
幫當0＜x＜lna時，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），則不滿足題意，
所以滿足題意的a的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．