Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（1）求f（x）的最大值，并求使f（x）取最大值時x的集合；
（2）若θ為銳角，且f（θ+

π

8

）=

2

3

，求sin2θ的值．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得：f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．由2kπ+

π

2

=2x+

π

4

，k∈Z，可解得當x=kπ+

π

8

，k∈Z時，f（x）_max=

2

．
（2）由f（θ+

π

8

）=

2

sin[2（θ+

π

8

）+

π

4

]=

2

3

，可得cos2θ=

1

3

，又θ為銳角，從而可求sin2θ=

1-cos2θ

=

2 2

3

．

解答： 解：（1）化簡可得：f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1=

2

sin（2x+

π

4

）．
所以有，2kπ+

π

2

=2x+

π

4

，k∈Z，可解得：當x=kπ+

π

8

，k∈Z時，f（x）_max=

2

．
（2）∵f（θ+

π

8

）=

2

sin[2（θ+

π

8

）+

π

4

]=

2

3

，
∴整理化簡可得：cos2θ=

1

3

，
∵θ為銳角，∴0＜2θ＜π
∴sin2θ=

1-cos2θ

=

2 2

3

．

點評：本題主要考察了同角三角函數基本關系的運用，三角函數的求值，屬于基本知識的考查．