Question

已知函數.
（Ⅰ）若,求在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數的極值點；
（Ⅲ）若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時,的極小值點為和，極大值點為；當時,的極小值點為；當時,的極小值點為；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）時，，先求切線斜率，又切點為，利用直線的點斜式方程求出直線方程；（Ⅱ）極值點即定義域內導數為0的根，且在其兩側導數值異號，首先求得定義域為，再去絕對號，分為和兩種情況，其次分別求的根并與定義域比較，將定義域外的舍去，并結合圖象判斷其兩側導數符號，進而求極值點；（Ⅲ）即，當時，顯然成立；當時，，當時，去絕對號得恒成立或恒成立，轉換為求右側函數的最值處理.
試題解析：的定義域為.
(Ⅰ)若，則，此時.因為，所以,所以切線方程為，即.
（Ⅱ）由于，.
⑴ 當時，，，
令，得，（舍去），
且當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增,的極小值點為.
⑵ 當時，.
① 當時，，令，得,(舍去).
若，即，則，所以在上單調遞增；
若，即， 則當時，；當時，，所以在區間上是單調遞減，在上單調遞增，的極小值點為.
② 當時，.
令，得，記，
若，即時，，所以