Question

已知函數，.
（Ⅰ）若與在處相切，試求的表達式；
（Ⅱ）若在上是減函數，求實數的取值范圍；
（Ⅲ)證明不等式： .

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ)見解析

解析試題分析：（Ⅰ）求導數，利用與在處相切，可求的表達式；
（Ⅱ） 在上是減函數，可得導函數小于等于 在上恒成立，分離參數，利用基本不等式，可求實數的取值范圍；
（Ⅲ）當x≥2時，證明 ，當x＞1時，證明 ，利用疊加法，即可得到結論．
試題解析：（Ⅰ）由于與在處相切
且   得：          2分
又 
                       3分
（Ⅱ）在上是減函數，
在上恒成立.         5分
即在上恒成立，由，
又   得          7分
（Ⅲ)由（Ⅱ）可得：當時：在上是減函數
當時： 即
所以 從而得到：          10分
當時：
當時：
當時：
當時：，
上述不等式相加得：


即.（）    12分
考點：1、不等式的證明；2、利用導數研究函數的單調性；3、利用導數研究曲線上某點切線方程．