Question

【題目】如圖，已知焦點在軸上的橢圓的中心是原點，離心率為，以橢圓的端州的兩端點和兩焦點所圍成的四邊形的周長為8，直線：與軸交于點，與橢圓交于不同兩點，．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由焦點三角形的周長為，可得的值，運用離心率公式和，，的關系，解方程可得，，進而得到橢圓方程；（2）由題意可得，設，，運用向量共線的坐標表示和直線方程代入橢圓方程，運用韋達定理，可得，代入，再由不等式的性質，可得所求范圍．

試題解析：（1）由已知可得以橢圓的短軸的兩端點和兩焦點所圍成的四邊形的周長為，．

又，∴，，

∴橢圓的標準方程為．

（2）根據已知得，設，，

由得，

由已知得，即，

且，，

∵，∴，∴，

代入上式可得，，

所以，得，代入，

整理得，∴的取值范圍是．