Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足 (n＋1) bn＝an＋1，(n＋2) cn＝，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列．

Answer 1

【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意得，根據等差數列的通項公式求得，即可的通項公式；

（2）由，遞推化簡，得到，因為一切，都有，得到，得到，再利用等差數列的性質，即可得到數列為等差數列。

試題解析：

（1）因為{an}是公差為2的等差數列，

所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1，從而 (n＋2)

cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，即cn＝1．

（2）由(n＋1)bn＝an＋1－，

得n(n＋1) bn＝nan＋1－Sn，

(n＋1)(n＋2) bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，

兩式相減，并化簡得an＋2－an＋1＝(n＋2) bn＋1－nbn．

從而 (n＋2) cn＝－＝－[an＋1－(n＋1) bn]

＝＋(n＋1) bn

＝＋(n＋1) bn

＝ (n＋2)( bn＋bn＋1)．

因此cn＝ ( bn＋bn＋1)．

因為對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝ (bn＋bn＋1)≤λ，

故bn＝λ，cn＝λ．

所以 (n＋1)λ＝an＋1－， ①

(n＋2)λ＝ (an＋1＋an＋2)－， ②

②－①，得 (an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．

故an＋1－an＝2λ (n≥2)．

又2λ＝a2－＝a2－a1，則an＋1－an＝2λ (n≥1)．

所以數列{an}是等差數列．