Question

【題目】若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱(chēng)此直線(xiàn)y=kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線(xiàn)”，已知函數(shù)f（x）=x2（x∈R），g（x）= （x＜0），h（x）=2elnx，有下列命題：
①F（x）=f（x）﹣g（x）在 內(nèi)單調(diào)遞增；
②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線(xiàn)”，且b的最小值為﹣4；
③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線(xiàn)”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；
④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線(xiàn)”y=2 x﹣e．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（請(qǐng)?zhí)钏�有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ ，∴x∈（﹣ ，0），F(xiàn)′（x）=2x+ ＞0，∴F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣ ，0）內(nèi)單調(diào)遞增，故①對(duì)；
②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線(xiàn)為y=kx+b，則x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，
又 ≤kx+b對(duì)一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，
即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k﹣4≤k≤0，同理﹣4≤b≤0，故②對(duì)，③錯(cuò)；
④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x= 處有公共點(diǎn)，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線(xiàn)，
那么該直線(xiàn)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線(xiàn)的斜率為k．則隔離直線(xiàn)方程為y﹣e=k（x﹣ ），即y=kx﹣k +e，
由f（x）≥kx﹣k +e（x∈R），可得x2﹣kx+k ﹣e≥0當(dāng)x∈R恒成立，
則△≤0，只有k=2 ，此時(shí)直線(xiàn)方程為：y=2 x﹣e，
下面證明h（x）≤2 x﹣e，令G（x）=2 x﹣e﹣h（x）=2 x﹣e﹣2elnx，
G′（x）= ，
當(dāng)x= 時(shí)，G′（x）=0，當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，G′（x）＜0，當(dāng)x＞ 時(shí)，G′（x）＞0，
則當(dāng)x= 時(shí)，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2 x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2 x﹣e當(dāng)x＞0時(shí)恒成立．
∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線(xiàn)y=2 x﹣e，故④正確．
所以答案是：①②④．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了命題的真假斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系才能正確解答此題．