Question

已知函數f(x)=(

3

sinωx+cosωx)sin(-

3π

2

+ωx)(0＜ω＜

1

2

)，且函數y=f（x）的圖象的一個對稱中心為(

5π

3

，a)．
（I）求a和函數f（x）的單調遞減區間；
（II）在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足

2a-c

b

=

cosC

cosB

，求函數f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式，輔助角公式對已知函數進行化簡可得f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，由函數y=f（x）的圖象的一個對稱中心為(

5π

3

，a)可得2ω•

5π

3

+

π

6

=kπ，結合0＜ω＜

1

2

可求ω
，進而可求f（x），a，令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可求函數的單調遞減區間
（II）對

2a-c

b

=

cosC

cosB

利用正弦定理，和差角公式化簡可求cosB，進而可求B，結合三角形的內角和定理可求A的范圍，結合正弦函數的性質可求f（A）的范圍

解答：解：（I）∵f（x）=（

3

sinωx+cosωx）sin（-

3π

2

+ωx）
=(

3

sinωx+cosωx)cosωx
=

3

sinωxcosωx+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

（2分）
又∵函數y=f（x）的圖象的一個對稱中心為(

5π

3

，a)
∴2ω•

5π

3

+

π

6

=kπ
∴ω=

6k-1

20

∵0＜ω＜

1

2

∴ω=

1

4

（4分）
從而有f（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）+

1

2

，故a=

1

2

，
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，k∈Z
∴函數的單調遞減區間[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]，k∈Z（6分）
（II）∵

2a-c

b

=

cosC

cosB

由正弦定理可得，

2sinA-sinC

sinB

=

cosC

cosB

∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sin（π-A）=sinA
∵sinA≠0
∴cosB=

1

2

∴B=

π

3

（9分）
∴0＜A＜

2π

3

∴

π

6

＜

1

2

A+

π

6

＜  

π

2

∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)＜1
∵f（A）=sin（

1

2

A+

π

6

）+

1

2

，
∴1＜f(A)＜

3

2

（12分）

點評：本題主要考察了利用二倍角公式，輔助角公式進行三角函數的化簡，正弦定理解三角形，三角函數的圖象和性質及三角形中三角函數知識的綜合應用．