Question

【題目】已知函數圖象的一條切線為.

（1）設函數，討論的單調性；

（2）若函數的圖象恒與x軸有兩個不同的交點M(，0)，N(，0)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：(1)先根據導數幾何意義得切點坐標，代入函數解析式得，再求的導數，根據b討論導函數零點，進而得單調性，(2)先求導數，轉化為+>2，再構造函數，x∈(1，2)，利用導數易得(x)在(1，2)上單調遞增，即得()>(1)=0，即()>(2)，最后根據()=()，證得結論成立.

詳解：（1），設切點，則切線斜率

∴，即切點，故，

∴

∴

①當時，，∴增區間，無減區間；

②當時，令，得；令，得

∴增區間，減區間

（2）依題意及（1）得函數，則，

∴當0<x<1時，；當x>1時，，

∴函數在區間(0，1)上單調遞增，在區間(1，+∞)上單調遞減，

∴

∵函數的圖象恒與x軸有兩個不同的交點M(，0)，N(，0)，

且當x趨近于0時，趨近于∞，當x趨近于+∞時，趨近于∞，

∴1m>0，m<1，且≠，

故不妨設<，則0<<1<．

要證()<0，需證>1，即+>2，

當≥2時，顯然成立．

當1<<2時，令，x∈(1，2)，

∵，∴(x)=ln xln(2x)2x+2，

=+2=>0，x∈(1，2)，

∴(x)在(1，2)上單調遞增，∴()>(1)=0，即()>(2)，

又由題意知()=()，∴()>(2)．

∵在(0，1)上單調遞增，∈(0，1)，2∈(0，1)，

∴>2，即+>2．綜上可得，+>2，即證．