Question

【題目】已知二次函數(其中)滿足下列三個條件:①圖象過坐標原點;②對于任意都成立;③方程有兩個相等的實數根.

(1)求函數的解析式;

(2)令(其中)，求函數的單調區間(直接寫出結果即可);

(3)研究方程在區間內的解的個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由圖象過原點得，由得對稱軸，方程有兩個相等實根，對應的，三個條件可得三個等式，從而求得得解析式；

（2）化簡函數為分段函數，當時，結合函數的對稱軸求出單調區間，時類似求出單調區間．

（3）結合（2）中函數的單調性可研究在上的零點個數．注意零點存在定理的應用．

（1）因為圖象過坐標原點，所以，即，

又，所以其對稱軸是，即，，

又方程為，即有兩個相等實根，所以，，

所以．

（2），

①當時，的對稱軸是，

若，即時，在上單調遞增，

若，即時，在上單調遞增，在上遞減，

②當時，的對稱軸是，

則函數在上遞減，在上遞增，

綜上所述，當時，的減區間為，增區間為；時，減區間為，，增區間為，．

（3）①當時，由（2）知在上單調遞增，

又，，故函數在上只有一個零點；

②時，則，，，，

（i）當時，，

且，此時在上只有一個零點，

（ii）當時，且，此時在上有兩個不同零點．

綜上所述，當時，在上只有一個零點，時，在上有兩個不同零點．