Question

已知函數f（x）=log₂（1+2^x+4^xa），其中 a∈R．
（1）a=-2時，求函數f（x）定義域；
（2）當x∈（-∞，1]時，函數f（x）有意義，求實數a的取值范圍；
（3）a=-1，函數y=f（x）-x-b（-1≤x≤0）有零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據對數函數的定義，以及復合函數，利用換元法，求出定義域，
（2）函數有意義，分離參數，構造函數，求出函數的最值即可，
（3）函數y=f（x）-x-b（-1≤x≤0）有零點，即f（x）與直線y=x+b在[-1，0]上有交點，求出f（x）的值域即可

解答： 解：（1）當a=-2時，f（x）=log₂（1+2^x-2×4^x）
∴1+2^x-2×4^x＞0，
令2^x=t，t＞0，
∴2t²-t-1＜0，
解得0＜t＜1，
∴2^x＜1=2⁰，
∴x＜0，
故函數的定義域為（-∞，0）；
（2）∵1+2^x+4^xa＞0，在x∈（-∞，1]恒成立，
∴a＞-

1

2x

-

1

(2x)2

在x∈（-∞，1]恒成立，
設2^-x=t，則t≥

1

2

，
∴a＞-t-t²，在t∈[

1

2

，∞）恒成立，
設g（t）=-t-t²=-（t+

1

2

）²+

1

4

，
∴函數g（t）在[

1

2

，∞）單調遞減，
∴g（t）≤g（

1

2

）=-

3

4

，
∴a≥-

3

4

，
故a的取值范圍為[-

3

4

，+∞），
（3）當a=-1時，f（x）=f（x）=log₂（1+2^x-4^x），
∵當a=-1時，函數y在[-1，0]上有零點，
∴f（x）與直線y=x+b在[-1，0]上有交點，
令h（t）=log₂（-t²+t+1），t∈[

1

2

，1]，
∴f（x）在[-1，0]上的值域為[1，

5

4

]，
∴直線y=x+b在[-1，0]上的值域[1，

5

4

]，
∴實數b的取值范圍為[1，

5

4

]．

點評：本題考查了對數函數圖象和性質，以及函數恒成立的問題，以及函數的零點問題，屬于中檔題