Question

(本小題滿分12分)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c和一次函數g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)
(1)求證：函數圖象交于不同的兩點；
(2)設（1）問中交點為,求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍。

Answer 1

（1）證明略
（2）()

(1)由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴c2>0,∴Δ>0,即兩函數的圖象交于不同的兩點（6分）
(2)解設方程ax2+2bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
　
（8分）
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)（10分）
∵的對稱軸方程是
∈(－2,－)時，為減函數
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()（12分）