Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ，平面底面， 為的中點， 是棱上的點， ， ， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若二面角大小為，設，試確定的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由平面平面，且平面平面， 可證得平面，進而平面平面；

（Ⅱ）先證明， ， 兩兩垂直，再以為原點建立空間直角坐標系，利用向量列方程求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵， ， 為的中點，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

∵，∴，即．

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）解：∵， 為的中點，∴，

∵平面平面，且平面平面，

∴平面，∴， ， 兩兩垂直，

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則平面的法向量為， ， ， ， ，

設，則， ，

∵，

∴∴

在平面中， ．

∴平面法向量為．

∵二面角為，∴，

∴．