Question

【題目】設(shè)函數(shù) ）.

（1）若直線和函數(shù)的圖象相切，求的值；

（2）當(dāng)時，若存在正實(shí)數(shù)，使對任意都有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義，設(shè)切點(diǎn)，得斜率，列方程求即可；

（2）由（1）得當(dāng)， ；當(dāng)時， ，取絕對值構(gòu)造函數(shù)即可.

試題解析：

（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，

所以切線方程為，即，

由已知和為同一條直線，所以，

令，則，

當(dāng)時， 單調(diào)遞增，當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.

（2）①當(dāng)時，有（1）結(jié)合函數(shù)的圖象知：

存在，使得對于任意，都有，

則不等式等價，即，

設(shè) ，

由得，由得，

若，因為，所以在上單調(diào)遞減，

因為，

所以任意，與題意不符，

若，所以在上單調(diào)遞增，

因為，所以對任意符合題意，

此時取，可得對任意，都有.

②當(dāng)時，有（1）結(jié)合函數(shù)的圖象知，

所以對任意都成立，

所以等價于，

設(shè)，則，

由得得， ，

所以在上單調(diào)遞減，注意到，

所以對任意，不符合題設(shè)，

總數(shù)所述， 的取值范圍為.