Question

【題目】已知F1，F2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，過橢圓的上頂點的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點坐標為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，當△ABF2面積最大時，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y2=1；（Ⅱ）x﹣y0或x+y0.

【解析】

（Ⅰ）根據直線橢圓的過上頂點，得b=1，再利用點差法以及弦中點坐標解得a2=3，即得橢圓方程；

（Ⅱ）先設直線l方程并與橢圓方程聯立，結合韋達定理，并以|F1F2|為底邊長求△ABF2面積函數關系式，在根據基本不等式求△ABF2面積最大值，進而確定直線l的方程.

（Ⅰ）直線x+y=1與y軸的交于（0，1）點，∴b=1，

設直線x+y=1與橢圓C交于點M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1+x2，y1+y2，

∴1，1，

兩式相減可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

∴，

∴ 1，

解得a2=3，

∴橢圓C的方程為y2=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（，0），F2（，0），設A（x3，y3），B（x4，y4），

可設直線l的方程x=my，將直線l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y2﹣2my﹣1=0，

則y3+y4，y3y4，

|y3﹣y4|，

∴|F1F2||y3﹣y4|||y3﹣y4|，

當且僅當，即m=±1，△ABF2面積最大，

即直線l的方程為x﹣y0或x+y0.