Question

【題目】已知三次函數，下列命題正確的是 .

①函數關于原點中心對稱；

②以，兩不同的點為切點作兩條互相平行的切線，分別與交于兩點，則這四個點的橫坐標滿足關系；

③以為切點，作切線與圖像交于點，再以點為切點作直線與圖像交于點，再以點作切點作直線與圖像交于點，則點橫坐標為；

④若，函數圖像上存在四點，使得以它們為頂點的四邊形有且僅有一個正方形.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】試題分析：①函數滿足是奇函數，所以關于原點（0,0）成中心對稱，正確；②因為，根據切線平行，得到,所以,根據①可知，,以點A為切點的切線方程為,整理得：,該切線方程與函數聯立可得，,所以,同理：,又因為，代入關系式可得，正確；③由②可知，以為切點，作切線與圖像交于點，再以點為切點作直線與圖像交于點，再以點作切點作直線與圖像交于點，此時滿足，,, 所以，所以③錯誤；④當函數為

，設正方形ABCD的對角線AC所在的直線方程為，設正方形ABCD的對角線BD所在的直線方程為，，解得：，所以，

同理：，因為

所以

，設，即，，當時，，等價于，解得，或，，所以正方形唯一確定，故正確選項為①②④.

【難點點睛】本題的難點是②和④，計算量都比較大，②的難點是過點A的切線方程與函數方程聯立，得到交點C的坐標，這個求交點的過程需要計算能力比較好才可以求解出結果；④的難點是需根據正方形的幾何關系，轉化為代數運算，這種化歸與轉化會讓很多同學感覺無從下手，同時運算量也比較大，稍有疏忽，就會出錯，所以平時訓練時，帶參數的化簡需所練習.