Question

【題目】給出下列四個命題：

①命題“x∈R，cosx>0”的否定是“x0∈R，cosx0≤0”；

②若0<a<1，則函數f(x)＝x2＋ax－3只有一個零點；

③函數y＝2sinxcosx在上是單調遞減函數；

④若lga＋lgb＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為4.

其中真命題的序號是________．

Answer 1

【答案】①④

【解析】由全稱命題的否定是特稱命題知①為真命題．

在同一直角坐標系內作出y＝3－x2，y＝ax(0<a<1)的圖象如圖所示．由圖知兩函數圖象有兩個交點，則函數f(x)＝x2＋ax－3有兩個零點，故②為假命題．

由y＝2sinxcosx＝sin2x，

又時， ，

故y＝2sinxcosx在上是增函數，因此③為假命題．

④中由lga＋lgb＝lg(a＋b)知，

ab＝a＋b且a>0，b>0.

又，

所以令a＋b＝t(t>0)，

則4t≤t2，即t≥4，因此④為真命題．

故答案為：①④．