Question

已知A為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點，若雙曲線的右支上存在異于A的點B，使得直線AB的傾斜角為

π

4

，則雙曲線的離心率的取值范圍為

(1，

2

)

．

Answer 1

分析：設直線AB的方程為y=x-a，與雙曲線的方程聯立得到根與系數的關系，再利用a•x_B＞a²，及b²=c²-a²，離心率計算公式即可得出．

解答：解：設直線AB的方程為y=x-a，聯立

y=x-a x2 a2 - y2 b2 =1

，化為（b²-a²）x²+2a³x-a⁴-a²b²=0．
∵此方程存在兩個正實數根，一個是x₁=a，另一個x₂＞a．
且a•x2=

-a4-a2b2

b2-a2

＞a²，化為a²＞b²=c²-a²，得到

c2

a2

＜2，解得e=

c

a

＜

2

．
又e＞1．
∴雙曲線的離心率的取值范圍為（1，

2

）．
故答案為（1，

2

）．

點評：本題考查了直線與雙曲線相交轉化為方程聯立得到根與系數的關系、b²=c²-a²、離心率計算公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．