Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別是,是橢圓外的動點,滿足.點是線段與該橢圓的交點,點在線段上,并且滿足,.

(1)當時,用點P的橫坐標表示；

(2)求點的軌跡的方程；

(3)在點的軌跡上,是否存在點,使的面積?若存在,求出的正切值；若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，正切值為2

【解析】

（1）設出點的坐標，根據點在橢圓上，代入求解即可表示；

（2）根據幾何意義求解軌跡方程；

（3）若存在點,使的面積，即，結合向量的數量及關系，表示面積關系得正切值.

(1)設點的坐標為，

由在橢圓上,得,

由,知,所以.

(2)設點的坐標為，

當時，點和點在軌跡上.

當且時,由,得.

又,所以為線段的中點.

在中,,所以有,

綜上所述,點的軌跡的方程是.

(3)上存在點使的充要條件是.

, ,所以當時,存在點,使;

當時,不存在滿足條件的點.

當時,,

由,

,

所以，

,

即，

得.