Question

【題目】已知數列的通項公式為，其中，、.

(1)試寫出一組、的值，使得數列中的各項均為正數.

(2)若，，數列滿足，且對任意的()，均有，寫出所有滿足條件的的值.

(3)若，數列滿足，其前項和為，且使(、，)的和有且僅有組，、、…、中有至少個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求、的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 、（答案不唯一）．(2) 7，8，9，10，11．(3) 的最小值為．的最小值為

【解析】

（1）只要均小于1即可；

（2）利用對勾函數的單調性分類討論，注意的取值只能是正整數．

（3），且，求出

因為，只有四組，利用二次函數的性質得，進一步得，的四個值為，，，，因此，的最小值為．再由中有至少個連續項的值相等，其它項的值均不相等，則中接著至少有兩個0，從而可得的最小值．

（1）、（答案不唯一）．

（2）由題設，．

當，單調遞增，不合題意，

時，，在時單調遞增，不合題意，因此，．

當時，對于，當時，單調遞減；當時，單調遞增．

由題設，有，．

于是由及，可解得．

因此，的值為7，8，9，10，11．

（3）因為，且，

所以

因為（、，），所以、．

于是由，可得，進一步得，

此時，的四個值為，，，，因此，的最小值為．

又、、…、中有至少個連續項的值相等，其它項的值均不相等，不妨設，于是有，因為當時，，所以，

因此，，即的最小值為．