Question

【題目】已知橢圓：的兩個焦點與短軸的一個端點恰好圍成一個面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設(shè)橢圓的左右頂點分別為、，右焦點為，是橢圓上異于，的動點，直線與橢圓在點處的切線交于點，當(dāng)點運動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，證明見解析

【解析】

（1）由條件可知，，解得，再根據(jù)條件求；

（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，表示點的坐標(biāo)，并表示直線的方程，利用兩直線的交點求點的坐標(biāo)，并表示圓心，利用圓心到直線的距離，判斷直線與圓的位置關(guān)系.

解：（1）設(shè)橢圓半焦距為，

依題意有，∴，，，故的方程為.

（2）以為直徑的圓與直線相切，

證明如下：易知，，，在點處的切線方程為.

由題意可設(shè)直線的方程為.

則點坐標(biāo)為，中點的坐標(biāo)為.

由得.

設(shè)點的坐標(biāo)為，則.

所以，.

①當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為.

直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切.

②當(dāng)時，則直線的斜率.

所以直線的方程為.

點到直線的距離

.

又因為，故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得，當(dāng)直線繞點轉(zhuǎn)動時，以為直徑的圓與直線相切.