Question

【題目】已知函數R.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 當a≤0，在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）遞減；當，在（0，2）和上單調遞增，在（2，）遞減；當a=，在（0，+∞）遞增；當a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調遞增，在（，2）遞減；(2) .

【解析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）由（1）知當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為，又，取，可證明，有兩個零點等價于，得，可證明，當時與當且時，至多一個零點，綜合討論結果可得結論.

（1）的定義域為，

，

（i）當時，恒成立，

時，在上單調遞增；

時，在上單調遞減.

（ii）當時，由得，（舍去），

①當，即時，恒成立，在上單調遞增；

②當，即時，或，

恒成立，在上單調遞增；

時，恒成立，在上單調遞減.

③當，即時，或時，恒成立，

在單調遞增，

時，恒成立，在上單調遞減.

綜上，當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，單調遞增區間為，無單調遞減區間為；

當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由（1）知當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為，

又，取，令，

則在成立，故單調遞增，

，

，

有兩個零點等價于，得，

，

當時，，只有一個零點，不符合題意；

當時，在單調遞增，至多只有一個零點，不符合題意；

當且時，有兩個極值，

，

記，

，

令，則，

當時，在單調遞增；

當時，在單調遞減，

故在單調遞增，

時，，故，

又，

由（1）知，至多只有一個零點，不符合題意，

綜上，實數的取值范圍為.