Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長(zhǎng)為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，若，證明直線過定點(diǎn)并寫出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析,恒過定點(diǎn)

【解析】

（1）先求出的外接圓的半徑長(zhǎng)，再利用拋物線的定義可求出的值，從而得出拋物線的方程；

（2）設(shè)的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，列出韋達(dá)定理，等價(jià)于即可得到、的關(guān)系，即可得到直線恒過定點(diǎn).

解：（1）因?yàn)?/span>的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，

所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，

因?yàn)橥饨訄A的周長(zhǎng)為，所以圓的半徑為3，

又圓心在的垂直平分線上，，

，解得：，

所以拋物線的方程為.

（2）設(shè)的方程為，，，

由得，，則.

所以，，

因?yàn)?/span>，所以，

即，化簡(jiǎn)得，

所以，所以，

所以的方程為，恒過定點(diǎn).