Question

在圖一所示的平面圖形中，是邊長為 的等邊三角形，是分別以為底的全等的等腰三角形，現將該平面圖形分別沿折疊，使所在平面都與平面垂直，連接,得到圖二所示的幾何體，據此幾何體解決下面問題.

（1）求證：;
（2）當時，求三棱錐的體積；
（3）在（2）的前提下，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）通過計算體積證明。
（2）二面角是鈍二面角，.

試題分析：（1）證明:如圖，

分別取AC、BC中點M、N，連接FM,EN,MN，是全等的等腰三角形，,，又所在平面都與平面垂直，平面ABC,平面ABC,，四邊形EFMN是平行四邊形，,又,,同理可得：,,故是邊長為的正三角形，.···
過M作MQ于Q,解得MQ=，即為M到平面ABD的距離，由（1）可知平面MNEF平面ABD,E到平面ABD的距離為，，
.···
分別以NA、NB、NE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
依題意得，，， ，，
，，

設是平面ADF的一個法向量，
則有,即，
令，得，
又易知是平面ABD的一個法向量，
設二面角的平面角為，
有，
又二面角是鈍二面角，.···（12分）
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。利用向量則能簡化證明過程，對計算能力要求高。解答立體幾何問題，另一個重要思想是“轉化與化歸思想”，即注意將空間問題轉化成平面問題。