Question

【題目】若函數y=f（x）對定義域的每一個值x1，在其定義域均存在唯一的x2，滿足f（x1）f（x2）=1，則稱該函數為“依賴函數”．

（1）判斷，y=2x是否為“依賴函數”；

（2）若函數y=a+sinx（a＞1）， 為依賴函數，求a的值，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）不是，y=2x是（2） ，證明見解析

【解析】

（1）根據“依賴函數”的定義進行判斷即可，

（2）只需要函數y=a+sinx的最大值和最小值滿足f（x1）f（x2）=1即可，建立方程關系進行求解即可．

（1）解：（1）函數，由f（x1）f（x2）=1，得，

對應的x1、x2不唯一，所以不是“依賴函數”；

對于函數y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得，

所以x2=﹣x1，可得定義域內的每一個值x1，都存在唯一的值x2滿足條件，故函數y=2x是“依賴函數”．

（2）當時，函數y=a+sinx（a＞1）為增函數，且函數關于（0，a）對稱，

若函數y=a+sinx（a＞1），為依賴函數，

則只需要函數的最大值和最小值滿足f（x1）f（x2）=1即可，

則函數的最大值為a+1，最小值為a﹣1，

則由（a+1）（a﹣1）=1得a2﹣1=1，

得a2=2，因為a＞1，所以得a=．