Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為正三角形，四邊形ABCD為直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，點E、F分別為AD、CP的中點，AD=AB=2CD=2．
（Ⅰ）證明：直線EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BC中點M，連結EM，FM，

∵點E、F分別為AD、CP的中點，∴EM∥AB，FM∥PB，

∵EM平面PAB，AB平面PAB，∴EM∥平面PAB，

∵FM平面PAB，PB平面PAB，∴FM∥平面PAB，

∵EM∩FM=M，EM、FM平面PEM，

∵平面EFM∥平面PAB，

∵EF平面PEM，∴EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：連結PE、PM，

∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，PE⊥BC，

∵EM⊥BC，∴BC⊥平面PEM，

∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEM，

過點E作EH⊥PM于點H，連結FH，

由平面PBC⊥平面PEM，得EH⊥平面PBC，

∴直線EF與平面PBC所成角為∠EFH，

在直角三角形PEC中，EF= PC= ，

在直角三角形PEM中，EH= ，

∴sin = = ．

∴直線EF與平面PBC所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BC中點M，連結EM，FM，推導出EM∥平面PAB，FM∥平面PAB，從而平面EFM∥平面PAB，由此能證明EF∥平面PAB．（Ⅱ）連結PE、PM，推導出PE⊥BC，EM⊥BC，從而BC⊥平面PEM，進而平面PBC⊥平面PEM，過點E作EH⊥PM于點H，連結FH，則EH⊥平面PBC，直線EF與平面PBC所成角為∠EFH，由此能求出直線EF與平面PBC所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．