Question

【題目】已知直線l的方程為y=x+2，點P是拋物線y2=4x上到直線l距離最小的點，點A是拋物線上異于點P的點，直線AP與直線l交于點Q，過點Q與x軸平行的直線與拋物線y2=4x交于點B．

（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）證明直線AB恒過定點，并求這個定點的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x0，y0），則 ，

所以，點P到直線l的距離 ．

當且僅當y0=2時等號成立，此時P點坐標為（1，2）．

（Ⅱ）設點A的坐標為 ，顯然y1≠2．

當y1=﹣2時，A點坐標為（1，﹣2），直線AP的方程為x=1；可得B（ ，3），直線AB：y=4x﹣6；

當y1≠﹣2時，直線AP的方程為 ，

化簡得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；

綜上，直線AP的方程為4x﹣（y1+2）y+2y1=0．

與直線l的方程y=x+2聯立，可得點Q的縱坐標為 ．

因為，BQ∥x軸，所以B點的縱坐標為 ．

因此，B點的坐標為 ．

當 ，即 時，直線AB的斜率 ．

所以直線AB的方程為 ，

整理得 ．

當x=2，y=2時，上式對任意y1恒成立，

此時，直線AB恒過定點（2，2），也在y=4x﹣6上，

當 時，直線AB的方程為x=2，仍過定點（2，2），

故符合題意的直線AB恒過定點（2，2）

【解析】（Ⅰ）利用點到直線的距離公式，求出最小值，然后求點P的坐標；（Ⅱ）設點A的坐標為 ，顯然y1≠2．通過當y1=﹣2時，求出直線AP的方程為x=1；當y1≠﹣2時，求出直線AP的方程，然后求出Q的坐標，求出B點的坐標，解出直線AB的斜率，推出AB的方程，判斷直線AB恒過定點推出結果．