Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，離心率 ．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若經過左焦點F1且傾斜角為 的直線l與橢圓交于A、B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意設橢圓的標準方程為 ，
由已知得：a+c=3， ，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，
∴橢圓的標準方程為 ；
（Ⅱ）由已知得直線l的方程為y=x+1，
與橢圓方程聯立，可得7x2+8x﹣8=0，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，
∴|AB|= |x1﹣x2|= =
【解析】（Ⅰ）由題意設出橢圓方程，結合已知列式求得a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）寫出直線l的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求出兩交點的橫坐標的和與積，代入弦長公式得答案．