Question

【題目】如圖，在半徑為的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD（點A、B在直徑上，點C、D在半圓周上），并將其卷成一個以AD為母線的圓柱體罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），

（1）若要求圓柱體罐子的側面積最大，應如何截取？

（2）若要求圓柱體罐子的體積最大，應如何截取？

Answer 1

【答案】（1）當截取的矩形鐵皮的一邊為為時，圓柱體罐子的側面積最大．

（2）當截取的矩形鐵皮的一邊為為時，圓柱體罐子的體積最大．

【解析】解：（1）如圖，設圓心為O，連結，設 ，

法一 易得， ，故所求矩形的面積為

（）

（當且僅當， （）時等號成立） 此時 ；

法二 設， ； 則， ，

所以矩形的面積為，

當，即時， （）此時 ；

（2）設圓柱的底面半徑為，體積為，由得， ，

所以，其中，

由得，此時， 在上單調遞增，在上單調遞減， 故當 時，體積最大為 ，

答：（1）當截取的矩形鐵皮的一邊為 為時，圓柱體罐子的側面積最大．

（2）當截取的矩形鐵皮的一邊為 為時，圓柱體罐子的體積最大．