Question

函數y=f(x)在區間(0,+∞)內可導,導函數f′(x)是減函數,且f′(x)＞0,設x₀∈(0,+∞),y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x₀,f(x₀))處的切線方程,并設函數g(x)=kx+m.

(1)用x₀、f(x₀)、f′(x₀)表示m;

(2)證明當x₀∈(0,+∞)時,g(x)≥f(x);

(3)若關于x的不等式x²+1≥ax+b≥在上恒成立,其中a、b為實數，求b的取值范圍及a與b 所滿足的關系.

Answer 1

解析：本小題考查導數概念的幾何意義,函數極值、最值的判定以及靈活運用數形結合的思想判斷函數之間的大小關系.考查學生的學習能力、抽象思維能力及綜合運用數學基本關系解決問題的能力.

答案：(1)解:m=f(x₀)-x₀f′(x₀).?

(2)證明:令h(x)=g(x)-f(x),則h′(x)=f′(x₀)-f′(x),h′(x₀)=0.?

因為f′(x)遞減,所以h′(x)遞增.因此,當x＞x₀時,h′(x)?＞0;

當x＜x₀時,h′(x)＜0.?

所以x₀是h(x)唯一的極值點,且是極小值點,可知?h(x)?的最小值為0,因此h(x)≥0,即g(x)≥f(x).?

(3)解法一:0≤b≤1,a＞0是不等式成立的必要條件,以下討論設此條件成立.?

x²+1≥ax+b,即x²-ax+(1-b)≥0對任意x∈成立的充足條件是.?

另一方面,由于f(x)= 滿足前述題設中關于函數y=f(x)的條件,利用(2)的結果可知,ax+b≥的充要條件是:過點(0,b)與曲線y=相切的直線的斜率不大于a,該切線的方程為y=(2b) x+b.?

于是ax+b≥的充要條件是a≥(2b).?

綜上,不等式x²+1≥ax+b≥對任意x∈成立的充足條件是.                                             ①?

顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:?

不等式(2b)≤2(1-b)②有解,解不等式②得.③?

因此,③式即為b的取值范圍,①式即為實數a與b所滿足的關系.?

解法二:0≤b≤1,a＞0是不等式成立的必要條件,以下討論設此條件成立.?

x²+1≥ax+b,即x²-ax+(1-b)≥0對任意x∈成立的充足條件是.?

令φ(x)=ax+b-,于是ax+b≥對任意x∈成立的充足條件是

,得x=a^-3 .?

當0＜x＜a^-3 時,φ′(x)＜0;?

當x＞a^-3 時,φ′(x)＞0.?

所以,當x=a^-3?時,φ(x)取最小值.?

因此φ(x)≥0成立的充要條件是φ(a^-3)≥0,即a≥(2b) .

綜上,不等式x²+1≥ax+b≥對任意x∈成立的充足條件是.                                    ①?

顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:不等式(2b)≤2(1-b)②有解.?

解不等式②得≤b≤.                     ③?

因此,③式即為b的取值范圍,①式即為實數a與b所滿足的關系.