Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝.

(Ⅰ)求證：平面PBD⊥平面PBC；

(Ⅱ)設H為CD上一點，滿足＝2，若直線PC與平面PBD所成的角的正切值為，求二面角H－PB－C的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得結論；
（Ⅱ）通過題意以D為原點，DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立坐標系，所求二面角的余弦值即為平面HPB的一個法向量與平面PBC的一個法向量的夾角的余弦值，計算即可．

試題解析：

(Ⅰ)證明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1BD＝，

又BC＝，∴CD＝2，∴BC⊥BD，因為PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD.

因為PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面PBC.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC為PC與底面PBD所成的角．

所以tan∠BPC＝，

所以PB＝，PD＝1，又＝2及CD＝2，

可得CH＝，DH＝.

以D點為坐標原點，DA，DC，DP分別x，y，z軸建立空間坐標系，則B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.

設平面HPB的法向量為n＝(x1，y1，z1)，

則由得取n＝(1，－3，－2)，

設平面PBC的法向量為m＝(x2，y2，z2)，

則由得取m＝(1，1，2)．

所以cos〈m·n〉＝＝－，所以二面角H－PB－C余弦值為.