Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，且，，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據面面垂直的性質定理可知，平面，又，可得平面，再根據面面垂直的判定定理即可證出；

（2）作于，過作交于，即可知平面，建立以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，分別求出平面和平面的一個法向量，根據向量法即可求出．

（1）證明：∵平面平面，平面平面，，

在平面內，∴平面，又∵，

∴平面，而在平面內，

∴平面平面；

（2）作于，則平面，過作交于，

如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系：

設，則，，，，

故，，，

設平面的一個法向量為，則，

則可取，

設平面的一個法向量為，則，

則可取，

∴，∴.

故二面角的平面角的正弦值為.