Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）+ ＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ，+∞）
B.[﹣ ，+∞）
C.[﹣1，+∞）
D.[﹣2，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=4x2﹣f（﹣x），

∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，

設(shè)g（x）=f（x）﹣2x2，則g（x）+g（﹣x）=0，

∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．

∵x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）+ ＜4x，

g′（x）=f′（x）﹣4x＜﹣ ，

故函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，

故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，

若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，

則f（m+1）﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，

即g（m+1）＜g（﹣m），

∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣ ，

所以答案是：A．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．